1.7 空间力系

当物体所受力的作用线不在同一平面内，而是在空间分布时，这样的力系称为空间力系。图1.31所示传动轴的受力即为空间力系。与平面力系一样，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系和空间一般力系。

1.7.1 力在空间直角坐标系的投影

设空间直角坐标系的三个坐标轴如图1.32所示，已知与三坐标轴的夹角分别为a、β、γ，则力在三个轴上的投影等于力的大小乘以该夹角的余弦，即

（1-18）

式中，a、β、γ分别为力与x、y、z轴所夹的锐角。

如图1.33所示，若已知力与z轴的夹角为γ，力与z轴所确定的平面与x轴的夹角为φ，可先将力F在xOy平面上投影，然后再向x、y轴进行投影，则力在坐标轴的投影分别为：

（1-19）

若已知Fx、Fy、Fz，则合力的大小、方向由下式求得：

（1-20）

1.7.2 力对轴之矩

在工程中，常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力对转动刚体的作用效应，必须引入力对轴之矩的概念。

现以关门为例，如图1.34所示，门上一边有固定轴z，在A点作用一力，度量此力对刚体的转动效应，现将分解为平行于z轴的分力和垂直于z轴的分力（在垂直于z轴上的平面上的投影）。由于对z轴之矩为零，只有对z轴有矩，即对z轴之矩就是力对z轴之矩。d为点O到力作用线的距离，则有

（1-21）

上式表明：空间力对轴之矩是一个代数量，其值等于此力在垂直于该轴平面上的分力对该轴与平面的交点之矩。其正负规定为：从z轴的正向看，若力矩逆时针转动，则为正；反之为负。

由力对轴之矩定义可知，当力的作用线与转轴平行时，或者与转轴相交时，即当力与转轴共面时，力对该轴之矩等于零。

1.7.3 合力矩定理

设有一空间力系由, , …, 组成，其合力为，则可证明合力对某一轴之矩，等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，可写成：

（1-22）

例1.8　试计算如图1.35所示手柄力对x、y、z轴之矩。已知：a=60°，F=100N，AB=20cm，BC=40cm，CD=15cm，A、B、C、D处于同一水平面上。

解：为平行于xOz平面的力，在x轴和z轴上有投影，即

按力对轴之矩，可求得：

1.7.4 空间力系的平衡方程

1.空间力系平衡方程及其应用

某物体上作用有一个空间一般力系, , …, 。如果物体平衡，则力系平衡的必要与充分条件是：该力系向任意点简化所得的主矢与主矩为零。即=0，MO=0。由此可得空间力系的平衡方程如下：

（1-23）

前三个方程称为投影方程，表示力系中各力在任意三个相互垂直的坐标轴上投影的代数和分别等于零。后三个方程称为力矩方程，表示力系中各力对三个坐标轴的力矩代数和分别为零，那么空间汇交力系的平衡方程为：

（1-24）

空间平行力系的平衡方程为：

（1-25）

以上两种力系只有三个独立的方程，故只能解三个未知量。

例1.9　在三轮车上放一重量F=1kN的货物，重力的作用线在M点，如图1.36（a）所示。已知：O1O2=1m，O3D=1.6m，O1E=0.4m，EM=0.6m，D点是线段O1O2的中点，EM⊥O1O2。求A、B、C三处的约束反力。

解：（1）取小车为研究对象，画其受力图如图1.36（b）所示。

（2）设坐标系，列出平衡方程：

解得：

2.轴类构件的平衡问题的平面解法

在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平面上，画出构件的三视图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出未知量。这种将空间问题转化为三个平面问题的方法，称为空间问题的平面解法。本法适合于解轮轴类构件的平衡问题。

例1.10　某鼓轮轴如图1.37所示，已知W=8kN，b=c=30cm，a=20cm，大齿轮分度圆直径d=40cm，在E点受作用，与齿轮分度圆切线之夹角即压力角a=20°，鼓轮半径r=10cm，A、B两端为向心轴承。求：轮齿作用力和轴承的约束反力。

解：（1）取轴AB为研究对象，画出它在三个坐标平面上受力投影图，如图1.37（b）所示。

（2）建立坐标系，列平衡方程。

xOz平面：

得：

yOz平面：

得：

得：

xOy平面：

得：

得：