1.1 复数

问题提出

求实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在b2-4ac<0时的解．

解法探究

对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac<0时，无实数解．要解决这一问题，需要扩充实数集，引入新数，使负数能够开方．这个新数就是本节所要介绍的复数．

必要知识

一、复数的有关概念

对于代数方程x2=-1，引入一个新数i，规定：i2=-1，并且i与实数可以按实数的四则运算法则进行运算．这个新数i称为虚数单位．

i与实数b相乘得到形如bi的数，若b≠0，则称bi为纯虚数；若b=0，则规定0·i=0．

如果a，b都是实数，那么形如a+bi的数称为复数；a称为复数的实部，b称为复数的虚部．a+bi形式称为复数的代数形式．

通常把复数构成的集合{z|z=a+bi，a∈R，b∈R}记为C，即

C={z|z=a+bi，a∈R，b∈R}．

显然，实数集R是复数集C的真子集，即R⊂C．

如果两个复数，实部相等，虚部互为相反数，则称两个复数互为共轭复数．

如复数z=a+bi，它的共轭复数记作，即=a-bi．

如果两个复数a+bi与c+di相等，则两个复数的实部相等，虚部相等，即

a+bi=c+di⇔a=c，b=d．

注意　两个复数如果不全是实数，它们之间就不能比较大小．

二、复数的几何表示法

若规定，直角坐标平面内的横轴x为实轴（单位是1），纵轴y（不包含原点）为虚轴（单位是i），则复数a+bi就可用这样的坐标平面上的点M(a，b)来表示，见图1-1，因为复数a+bi与点M(a，b)是一一对应的．又因为点M(a，b)与向量也是一一对应关系，所以复数a+bi也可用向量来表示．以后把表示复数的平面称为复平面．复平面内向量的模（即长度）称为复数的模或绝对值，即r==|a+bi|=，向量的正方向与x轴的正方向的夹角θ称为复数的辐角．在电类专业中，常把辐角θ限定在(-π，π]区间上，这时的辐角称为复数的主辐角．

求主辐角θ，应结合点M(a，b)所在象限，但值得注意的是复数零的辐角是不确定的．

三、复数的其他表示形式

如图1-1所示，由三角函数的定义知道

a=rcosθ，b=rsinθ．

所以

a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)．

则称r(cosθ+isinθ)形式为复数三角形式，reiθ形式为复数的指数形式，形式为复数的极坐标形式．对于指数形式，辐角θ的单位只能采用弧度制．可见，模和辐角也能唯一确定一个复数．

复数的任意两种形式之间都能相互转化，即

例1.1.1　在复平面内作出下列复数的点和向量，求出它们的模和主辐角，并写出它们的其他3种形式（见图1-2，图1-3）．

（1）1-i；

（2）

解　（1）r=|1-i|=，tanθ=-1/1=-1，θ在第四象限，所以主辐角θ=-45°，则

（2）r==2，tanθ=θ在第二象限，所以主辐角θ=120°则

四、复数的运算

1. 复数代数形式的四则运算

设复数z1=a+bi，z2=c+di．

（1）复数的加减运算

z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i．

（2）复数的乘法运算

z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i．

（3）复数的除法运算

例1.1.2　计算共轭复数a+bi与a-bi的和、差、积．

解　(a+bi)+(a-bi)=2a，(a+bi)-(a-bi)=2bi，

(a+bi)·(a-bi)=a2+b2．

例1.1.3　计算．

解

2. 复数三角形式、指数形式和极坐标形式的乘除运算

设复数z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)．

（1）复数的乘法运算

三角形式表示

z1·z2＝r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)

=r1·r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]

=r1·r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]．

指数形式表示

极坐标形式表示

（2）复数的除法运算

三角形式表示

指数形式表示

极坐标形式表示

例1.1.4　计算．

解　因为，θ在第一象限．

所以

原式==．

例1.1.5　计算

解

五、复数的应用

前面已经知道，复数可用于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在b2-4ac<0时的求解；此外，复数还能作为研究交流电路理论的重要工具，电压、电流等参量都可用复平面内的向量表示．

例1.1.6　如图1-4所示，已知R=100Ω，电感L=0.5H，频率f=60Hz，电容为C=30μF，计算复阻抗Z，并把结果化成复数的三角形式．

解　由交流电路理论知识，当交流电路中接入电阻、电容和电感后，电路中复阻抗Z可表示为

则

又因为

所以复阻抗的三角形式为

例1.1.7　解方程x2-8x+17=0．

解　判别式Δ=b2-4ac=64-68=-4<0，故方程在复数范围内有解．

练习1.1

1. 在复平面内做出下列复数的点和向量，求出它们的模和主辐角，并写出它们的其他3种形式．

（1）-2+2i；

（2）．

2. 实数m取何值时，复数(m2-3m+2)+(m2-5m-6)i是实数？是纯虚数？是虚数？

3. 计算下列各式的值，并把结果化为代数形式．

（1）[2(cos60°+isin60°)]3；

（2）(1-i)8；

（3）；

（4）．

4. 在复数范围内解方程x2-2x+10=0．

习题1.1

1. 实数x，y，如果z1=-2+i，z2=x+yi，求如下问题．

（1）；

（2）如果=z2，那么实数x，y取何值？

2. 下列各式是不是复数的三角形式？如果不是，能否化成相应的三角形式？

（1）；

（2）r(cosθ-isinθ)(r>0)．

3. 计算下列各式的值，并把结果化为代数形式．

（1）[2(cos30°+isin30°)]5；

（2）；

（3）；

（4）．

4. 在RLC串联谐振电路中，设元件值为R=1Ω，L=0.25H，C=1F，角频率ω=1弧度/秒，计算该电路的复阻抗Z．