2.5 MATLAB下矩阵的运算

2.5.1 矩阵的代数运算

矩阵的代数运算包括加、减、乘、数乘、点乘、乘方、左除、右除等。其中加、减、乘与大家所学的线性代数中的定义是一样的，相应的运算符为“+”“－”“*”。

对于上述的运算，需要注意的是，矩阵的加、减、乘运算对维数要求与线性代数中的要求一致。

1.矩阵的加减运算

设A＝（a_ij），B＝（b_ij）都是m× n矩阵，矩阵A与B的和记成A+B，规定为：

1）交换律：A+B＝B+A。

2）结合律：（A+B）+C＝A+（B+C）。

例2-16：验证加法法则。本实例验证矩阵加法的交换律与结合律。

解：MATLAB程序如下。

减法运算法则为：A－B＝A+（－B）。

例2-17：矩阵求差。本实例求矩阵的减法运算。

解：MATLAB程序如下。

2.矩阵的乘法运算

（1）数乘运算

数λ与矩阵A＝（a_ii）_m×n的乘积记成λA或Aλ，规定为：

同时，矩阵还满足下面的规律：

λ（μA）＝（λμ）A

（λ+μ）A＝λA+μA

λ（A+B）＝λA+λB

其中，λ，μ为数，A，B为矩阵。

（2）乘运算

若3个矩阵有相乘关系，设A＝（a_ij）是一个m× s矩阵，B＝（b_ij）是一个s× n矩阵，规定A与B的积为一个m× n矩阵C＝（c_ij）：

c_ij＝a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_isb_sji＝1，2，…，m； j＝1，2，…，n

即C＝A*B，需要满足以下3种条件。

◆ 矩阵A的列数与矩阵B的行数相同。

◆ 矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数。

◆ 矩阵C的第m行n列元素值等于矩阵 A的 m行元素与矩阵 B的 n列元素对应值积的和。

注意：

若矩阵A、B满足AB＝0，未必有A＝0或B＝0的结论。

3.点乘运算

点乘运算是指将两矩阵中相同位置的元素进行相乘运算，将积保存在原位置组成新矩阵。

例2-18：矩阵点乘运算。

解：MATLAB程序如下。

4.矩阵的除法运算

由于矩阵的特殊性计算左除A＼ B时，A的行数要与B的行数一致，计算右除A/B时，A的列数要与B的列数一致。

（1）左除运算

A*B通常不等于B*A，除法也一样。因此除法要区分左除和右除。

线性方程组D*X＝B，如果 D非奇异，即它的逆矩阵inv（D）存在，则其解用MTLAB表为：

X＝inv（D）*B＝D＼B

符号“＼”称为左除，即分母放在左边。

左除的条件：B的行数等于D的阶数（D的行数和列数相同，简称阶数）。

例2-19：求解矩阵左除。

解：MATLAB程序如下。

（2）右除运算

若方程组表示为X*D1＝B1，D1非奇异，即它的逆阵inv（D1）存在，则其解为：

X＝B1*inv（D1）＝B1/D1

符号“/”称为右除。

右除的条件：B1的列数等于D的阶数（D的行数和列数相同，简称阶数）。

例2-20：验证矩阵的右除。

解：MATLAB程序如下。